1 – درجه نامعادله هاي زير را تعيين كنيد.
 

الف) x² -1-( x+1)(x-3) >0

x² -1-(x - 2x -3)>0
x² -1-x + 2x +3>0

2x +2>0
 

ب)  (x+1)(x-2)<(2x-1)²
(x+1)(x-2)<(2x-1)²

(x+1)(x-2)-(2x-1)² <0

(x²-x-2)-(4x²-4x+1)<0

x²-x-2-4x² +4x -1 <0

-3x² +3x -3 <0    نا معادله درجه دوم

2 – مجموعه جواب نامعادله هاي زير را با توجه به علامت a بدست آوريد.
اگر a≠0 باشد نامعادله مفهوم دارد اگر a>0 باشد مجموعه جواب نامعادله x< -b/a  اگر a<0 باشد مجموعه جواب نامعادله x> -b/a

ax + b <0

ax <-b

3- رأس و خط تقارن هر يك از سهمي ها زير را تعيين كنيد.

الف) y = 8(x-1)²

S(1,0) مختصات راس سهمی

 x = 1  معادله خط تقارن

ب)  y = -3(x-1)-1

S(1,-1)   مختصات راس سهمی

 x=1  معادله خط تقارن سهمی

4 – نمودار هر يك از سهمي هاي زير را رسم كنيد.

ب)   y= 3(x-1)+4
S(1,4)   مختصات رأس سهمي
x=1    معادله خط تقارن سهمي

5 – با استفاده از معادله مسأله زير را حل كنيد:
علي 1250 ريال داشت با آن سه دفتر خريد و 50 ريال براي او باقي ماند. بهاي هر دفتر چقدر است؟

X= بهاي هر دفتر
3x+50 =1250 => 3x = 1250 -50 => 3x =1200 => x = 1200 /3

6 – معادله هاي درجه دوم زير را حل كنيد.

الف)  y - (48/16) = 2y

y -3 = 2y => y - 2y -3 = 0 => (y -3)(y+1) = 0 =>

 y -3 = 0
y +1 = 0   = > (y =3 , y =1)

1 – ريشه هاي معادله هاي زير را تعيين كنيد:

از روش فاكتورگيري استفاده كرده و ريشه معادله را بدست مي آوريم.

1)2x² -x = 0

2) t² -9 =0

2 – ريشه هاي معادله زير را تعيين كنيد.

1)4x +3x -1 =0

2) 6x² -5x +1 =0

3 – ريشه هاي معادله هاي زير را در صورت وجود با استفاده از رسم نمودار بدست آوريد.

x ²+3x +2 =0

x ²= -3x -2 => y₁ = x² , y₂ = -3x-2

جدول مقادير عددي معادله y₂ = -3x -2
طول هاي نقاط برخورد خط y₂ = -3x -2 و منحني y₁= x² عبارتند از x=-2 , x=-1 ريشه هاي معادله x ²+3x +2 =0 مي باشند.

4 – به هر يك از عبارت هاي زير عددي اضافه كنيد تا آن عبارت مربع كامل گردد.
جملات اين عبارت دو جمله از سه جمله اتحاد² (a +b) مي باشد، براي بدست آوردن جمله كمبود آن از رابطه زير استفاده مي كنيم يا مربع نصف ضريب x (جمله درجه اول)

1) x ²+4x

جمله مطلوب =>

2) x ²- 2bx

5 – معادلات زير را حل كنيد.
هر معادله كه به صورت كلي ax +bx +c = 0 باشد معادله ي درجه دوم يك مجهولي ناميده مي شود. شرط اينكه اين معادله ريشه حقيقي داشته باشد. اين است كه b² -4ac>0= ∆ باشد در اين صورت ريشه هاي معادله از دو فرمول زير بدست مي آيند.

در این معادله a=1 , b=-7 , c=10 می باشد .

الف) x² -7x +10 =0

ب) x = 6x +2

6 – در هر يك از مثلث هاي قائم الزاويه زير مقدار x را با استفاده از قضيه فيثاغورث بدست آوريد.
رابطه فيثاغورث را براي اضلاع مثلث شكل الف مي نويسيم.
الف)

(13)² = (x+7)² +x ²=> 169 = x ²+14x + 49 +x² => 2x² +14x -120 = 0 => x ²+7x -60 = 0 =>

(x+12)(x-5) = 0 => x=-12 غ ق ق , x = 5

(x+3)² = (x+1)²+(x-1)² => x ²+6x +9 = x ²+2x+1+x²+1-2x => x² -6x -7 = 0 => (x-7)(x+1) = 0 => x=7 غ ق ق , x = -1

7 – براي چه مقدار از a معادله a ²x ²-ax +a +1 = 0 داراي ريشه مضاعف است؟

ax² +bx +c = 0 => ∆ = b² - 4ac

شرط اینکه معادله ریشه مضاعف داشته باشد : 0= ∆

a²x² - ax +a +1 = 0 => a = a² , b=-a , c= a+1

∆ = (-a)² -4(a²)(a+1) = 0

∆ = a ²-4a ³- 4a² => -4a -3a = 0 => a²(4a +3) = 0 =>

a² = 0 => a = 0 غ ق ق

4a +3 =0 => 4a = -3 => a = -3/4

8- طول ضلع مربعي را پيدا كنيد كه عدد مربوط به محيط آن مساوي عدد مربوط به مساحت آن باشد.
x طول ضلع مربع

4x محيط مربع
x² مساحت مربع

4x = x => x-4x = 0 => x(x-4) = 0 => x = 0 غ ق ق , x = 4 طول ضلع مربع

9 – عدد طبيعي پيدا كنيد كه وقتي آن را با مربعی جمع كنيم حاصل 12 مي شود.
X عدد طبيعي

x+x=12 => x +x -12 = 0 => (x+4)(x-3) = 0 => x = -4 غ ق ق , x = 3

1 – متغير هر يك از معادلات زير را رسم كنيد.

1 – رأس و خط تقارن هر يك از سهمي هاي زير را تعيين كنيد.

 

1) y = 3(x-2)²

2) y = -2(x+3)² + 4

2 – نمودار هر يك از سهمي هاي زير را رسم كنيد.

1) y = 3x

2) y = + 1/2 x²
3) y = 2(x-4)²
4) y = 3x² +5

1 – مطلوب است تعيين معادله خطي كه از نقطه(B(0,0),A(0,1 مي گذرد.

2 – معادله خطي را بنويسيد كه از نقطه (1,2) مي گذرد، و با خط 2x+3y-5=0 موازي است.

3 – معادله خطي را بنويسيد كه از نقطه (2,3) مي گذرد و با محور yها موازي است.

4 – فاصله نقطه( A(-1,-2 را از خط 3x+4y-1=0 حساب كنيد.

5 – با استفاده از تعريف شيب خط بگوييد خط هاي زير دو به دو نسبت به هم چه وضعي دارند؟

1) 2) 3)

6 – ثابت كنيد فاصله مبدأ مختصات از خط x+y=1 برابر 2 / 2√ است.

7 – طول ميانه و ارتفاع وارد بر ضلع Bc را در مثلثي با رئوس (3,4) A (1,2) , B(3,1) , C بيابيد.

1 – نقاط A,B به طول هاي 3- و 2 روي محور x'ox داده شده اند. اندازه جبري پاره خط AB را حساب كنيد.

2 – نقاط زير را در صفحه مشخص كنيد.

(2,6),(4,-2),(0,3),(6,7),(-3,-2),(0,-1),(-2,0

3 - ابتدا مختصات وسط هر يك از پاره خط هاي زير را تعيين كنيد و سپس طول هر كدام را بيابيد.

1) A(-2,-3),B(2,-2)

2)A(3,0),B(-3,0)

4 – نمودار هر يك از خط هاي زير را رسم كنيد.

1)Y=2X +5

2)X=Y+4

3)X-Y= +3

4)Y = 2X

5 – نمودار هر يك از خط هاي زير را رسم كنيد.

X²-Y²=0

(X-1) ² = Y²

6 – شيب هر يك از خط هاي زير را حساب كنيد.

1) 2X -6Y +5 =0

2)Y = 7/3

3) Y =5X+7

7- جواب دستگاههاي زير را در صورت وجود به كمك رسم نمودار تعيين كنيد.

8- سن حميد 3 سال ديگر برادر سن برادرش مي شود، اگر حميد 5 سال از بردارش بزرگتر باشد، سن حميد و برادرش را بدست آوريد.

9 – هر دسته از اعداد زير را از لحاظ قدر مطلق مقايسه كنيد.

1)-15 , 7

2)-a² , a²

10 - اگر a=4

و

و

d= 1/1

حاصل هر يك از عبارات زير را تعيين كنيد.

الف)|a| + |b| +|c| +|d|

ب) ( | e| . |a²| ) / 2 |b|

1 – كداميك از عبارتهاي زير گويا هستند؟
الف) x²+10

ب) 4/3

ج) x-2 /x+2

ه)( x ²+√2 )/ (x²-√x)

2 – در هر يك از عبارتهاي زير مقاديري را كه متغير x نمي تواند اختيار كند مشخص كنيد.
الف)x-5 / -x

ب) 2x /x-10

ه) 5 /4x+3

3 – حاصل ضرب هاي زير را ساده كنيد.

4 – حاصل ضرب هاي زير را به ساده ترين صورت بنويسيد.

6 – حاصل تقسيم هاي زير را بدست آوريد:

7- حاصل عبارتهاي زير را بدست آوريد:

9 – در جاهاي خالي عبارت مناسب قرار دهيد تا دو كسر معادل باشند.

10 – خلاصه كنيد :

11- دامنه هر يك از عبارت هاي گويا ي زير را تعيين كنيد.

الف) (x-3) / (x³-25x)

12 – ابتدا هر يك از عبارت هاي زير را ساده كنيد. سپس درجه هر يك را نسبت به متغيرهاي مشخص نمائيد.

13 – تقسيم هاي زير را انجام دهيد:

الف) x ⁴-3x² -10 / (x-5)

14 – با استفاده از اتحادها، عبارت هاي زير را ساده كنيد.

15 – در هر يك عبارت هاي زير به جاي .... عبارتي قرار دهيد كه هر عبارت مربع كامل شود.

16 – بزرگترين مقسوم عليه مشترك و كوچكترين مضرب مشترك هر دسته از چند جمله ايها را تعيين كنيد.

1 – بزرگترين مقسوم عليه مشترك بين هر دسته از يك جمله ايها زير را تعيين كنيد.

۱– حاصل هر يك از عبارت هاي زير را با استفاده از اتحادها بنويسيد.

الف) (x - 1)²

2 – هر يك از عبارت هاي زير را ساده كنيد.

الف)

(2x + y)(4x² - 2xy + y²)

(ب
(a - a²)(a² + a³ +a⁴)

3 – در جاهاي خالي عبارت مناسب قرار دهيد.

الف)

(...+1)² = x ²+ 1 + ....

ب)

(2x - ...) ²= ... - 12x + ....

4- هر يك از اتحادهاي زير را ثابت كنيد:

الف)

 (x - y)² = (x + y)² - 4xy

ب)

(1-x)(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸) = (1-x¹⁶)

5- با استفاده از ³(a - 1)حاصل 999³ را بدست آوريد.

6 – اگرx + y = p , y =pمطلوب است تعيين مقادير:

الف) x ²+ y²

ب) x³ + y³

ج) (x - y)²

1 – به سؤالات زير پاسخ دهيد.

الف) اگر a عدد مثبتي باشد، كوچكترين و بزرگترين عضو مجموعه {a / 2 , a / 3 , a /5 , a/ 7} كدام است؟

ب) از دو كسر مثبت كه مخرجهاي مثبت دارند، كسري بزرگتر است كه صورتش بزرگتر باشد.

2 - به صورت اعشاري بنويسيد.

(n N) , 10^-n , 10^-10 , 10^-8

3 – از كسرهاي زير كدام مولد عدد اعشاري تحقيقي و كدام مولدعدد اعشاري متناوب ساده و كدام متناوب مركب است؟ پس از تحقيق عدد اعشاري هر يك را بنويسيد.

4- اعداد اعشاري زير را به صورت كسر متعارفي بنويسيد.
الف) 06/0

ب) 76565/0
د) 3737/2

ه ) 3777/2

5- كسر متعارفي مساوي هريك از اعداد اعشاري زير را بنويسيد.

6- چهار عدد گويا بين دو عدد گوياي 2/1 و 4/1 بنويسيد.

7- به صورت نماد علمي بنويسيد:
واحد جرم اتمي :

عددآووگادرو:

بارپروتون:

8- گويا يا اصم بودن اعداد زير را تعيين كنيد:

1)6

2)0/4343

3)Π

4) - 5/6

5) 2/9

تمرين هاي تكميلي :‌ با پاسخ :
1- 8 عدد گويا بين 3 /2 ,4/3 قرار بدهيد.
صورت و مخرج كسر 3/2 را در 40 و صورت و مخرج 4/3 را در 30ضرب مي نماييم.

مي بينيد كه اعداد گوياي 120 /81 و .... 120/89 بين دو عدد گوياي 3/2 و 4/3 واقع مي باشند.

2- بين هر دو عدد گويا، سه عدد گويا پيدا كنيد.
48،49

3 – مقدار كسرهاي زير را به ازاي n=1,2,3,4 به صورت كسرهاي اعشاري درآوريد.

4- اگر3:4= x / y باشد مقدار عبارت(x-2y) / (x + 2y) را بيابيد.

تركيب نسبت در صورت و تفصيل نسبت در مخرج انجام شده است.

5 – y با عكس مجذور x‌ متناسب است اگر y=16 آنگاه x=1 است، حال x=8 است. آنگاه y چقدر خواهد بود؟

6- كوچكترين و ساده ترين كسر را بيابيد كه خارج قسمت آن بر هر يك از كسرهاي زير عدد صحيح باشد.
كوچكترين مضرب مشترك بين صورتهاي سه كسر را صورت كسر و بزرگترين مقسوم عليه مشترك بين مخرجها را مخرج كسر مي نويسيم.

6/7 = 5/14 =10/21

7 /30عدد مطلوب مي باشد.

	6 5 = 30 => 30 10 =30 =>	30= ک .م .م
	7∩14 = 7 => 7 ∩ 21 = 7 =>	7 = ب . م.م

تست هاي كنكوري : بخش چهار

1- كسر تحويل ناپذيرa /b برابر كسر462/594 است، a+b كدام است؟
1) 14

2)15

3)16

4)17

2 – حاصل مي شود؟
1) 24/0

2)

3)

4)3/0

3- حاصل

برابر است با :

4- تفاضل صورت از مخرج كسر متعارفي مولد عدد اعشاري‾ 38/0 به كداميك از اعداد زير بخش پذير است؟
1) 17

2) 5

3) 6

4)11

5- حاصل عبارت كدام است؟
1) 7/4

2) 8/7

3) 7/16

4) 7/8

6- كسر مولد كدام است؟
1)97/136

2)99/136

3)99/137

4)137/97

7- اگر N,Z,Q,R به ترتيب مجموعه اعداد طبيعي،صحيح، گويا و حقيقي باشندف كدام رابطه نادرست است؟
1)R Q

2)N R

3) Z N

4)Q N

1- اگر آيا عضوي در C وجود دارد كه در D نباشد؟

2- مجموعه{ M={1,2,3,….20 را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگيريد. آنگاه زير مجموعه هايي از همه عضوهاي M را به ترتيب زير مشخص كنيد.
الف) زير مجموعه اي كه اعضاي آن اعداد فرد باشد.
ب) زير مجموعه اي كه اعضاي آن بر 3 بخش پذير باشد.
ج) زير مجموعه اي كه اعضاي آن از 10 بزرگتر باشد.
د) زير مجموعه اي كه اعضاي آن از 7 كوچكتر باشد.

3- كداميك از مجموعه هاي زير با پايان كداميك و بي پايان است .
مجموعه اعدد طبيعي فرد، مجموعه اعداد صحيح زوج، مجموعه اعداد اول و زوج

4– اجتماع هر دسته از مجموعه هاي زير را تعيين كنيد.

الف )A={2 , 3 ,7}

B = {1 , 2 , 6}

ب ) A={a , b , c }

B ={c , d , e}

5– آيا هميشه ؟ چرا؟

6- در شكل رو به رو A ∩B , B ∩A را سايه بزنيد.
A∩B∩C برابر چه مجموعه اي است؟

7- اگر A زير مجموعه B نباشد و B همه زير مجموعه ي A نباشد هر كدام از احكام زير كه درست است با نماد √ و هر كدام نادرست است با نماد × مشخص كنيد.
الف)

ب)
ج)

د)
ه‍)

8 - اگر داشته باشيم { C={a,e},B={b,d,d},A={a,b,c,d درستي تساويهاي زير را تحقيق كنيد.

9- در تمرين 8 مجموعه هاي B-C , A-C , A-B را بنويسيد.

انتگرال نامعین

اگر پاد مشتق باشد ، آنگاه به ازای هر مقدار ثابت یک پاد مشتق است.زیرا اگر آنگاه:

اگر جوابی برای باشد ، فرمول همه جوابها را به دست می‌دهد.

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون را انتگرال نامعین نسبت به می‌نامند و با نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول همه پادمشتق‌های را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

تابع را انتگرال ده انتگرال و را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری است.

1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر برابر است با به علاوه یک ثابت دلخواه.
2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

,

,

,

,

در این دستور‌ها یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر آنگاه

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون از دامنه را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن و در معادله و حل آن نسبت به جوابی را یافت که از نقطه بگذرد.به این ترتیب داریم یا .
خم خمی است که از می‌گذرد.

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای تابع پیوسته و مشتق پذیر را قرار می دهیم، یعنی :

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای نسبت به قرار می‌دهیم . یعنی:
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

دستور موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن توابعی مشتق‌پذیر از هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را فرض می‌کنند.